Кавычки нужны: сотрудники "Почты России"...
Запятые не нужны.
Обе формы сказуемого возможны. Выбор за Вами.
Верно: один из первых в России частных университетов; Частный университет, один из первых в России...
"Пою тебя" - уместно в значении "воспеваю", "восхваляю".
Корректно строчными: первая чеченская война (как обиходное название вооруженного конфликта).
Недопустимы слитные написания с одной прописной буквой в середине слова. Поэтому после начальной части слова, по основным правилам пишущейся слитно, – после приставки, первой части сложного или сложносокращенного слова – следует писать дефис, если вторая часть представляет собой собственное имя и потому пишется с прописной буквы. Орфографически верно: «Дем-Россия».
Верное написание: во время Великой Отечественной войны.