Во множественном числе правильно написание строчными: мы посетили музеи А. И. Герцена и народного ополчения.
В подобных сочетаниях терминологического характера существительное при двух определениях обычно стоит в единственном числе: в устной и письменной форме, мероприятия муниципального и регионального уровня.
Запятая требуется: Уже тренируются и дети, и взрослые.
Верно: Надежда и Осип Мандельштам, Надежде и Осипу Мандельштам.
Запятая не ставится: наименование должности и наименование ученой степени – неоднородные приложения.
Возможны варианты пунктуации в зависимости от смысла и интонации. Можно поставить запятые по правилу о запятых между однородными членами, соединенными повторяющимися союзами: За это уважали, и любили, и академиком народным нарекли. Но если между глаголами уважали и любили есть тесная смысловая связь, а слова и академиком народным нарекли отделяются от них интонационно, запятые не нужны. В этом случае действует правило: если два однородных члена предложения с союзом и образуют тесно связанную по смыслу пару, соединенную союзом и с третьим однородным членом, запятые не ставятся. Окончательное решение принимает автор текста.
