Склоняется фамилия, принадлежащая мужчине.
Мужские фамилии Сладкевич, Лим, Ким склоняются, соотносительные женские – нет.
Сочетание громаднейший дом корректно, ошибки нет. Ср.: ...Это лишь оболочка здания, это его наружные стены; а там, внутри, уж настоящий дом, громаднейший дом: он покрыт этим чугунно-хрустальным зданием, как футляром... Н. Чернышевский, Что делать?
Все перечисленные знаки возможны, но предпочтительно будет тире как знак, который ставится «при наличии слов, обязательно требующих раскрытия (пояснения) значения» (параграф 82 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).
Да, здесь должно быть с прописной: Пушкинский Дом. Исправлено. Спасибо за замечание!
Запятая поставлена верно.