Фамилия Штых, принадлежащая мужчине, склоняется: Ивана Штыха.
В. п. — (Ивана) Глухия, ср. Стефана Батория.
Попробуйте начать с Ивана Сергеевича Тургенева и Льва Николаевича Толстого.
Фамилия Иволга должна склоняться: у Ивана Иволги, о Елене Иволге.
Выбор формы зависит от смысла предложения. Например, верно: О назначении Ивана Иванова исполняющим обязанности...
Да, эта фамилия склоняется и в женском, и в мужском варианте: Марии Плюты, Ивана Плюты.
Эта фамилия склоняется так же, как и название страны: для Ивана Украины, Ивану Украине и т. д.
Разница исключительно грамматическая: начать – совершенный вид, начинать – несовершенный. Эта разница видна на примерах: я начинаю (сейчас), я начну (скоро).
Пунктуация верна (если Ивана просят не уйти из другой школы, а уйти из-за того, что он из другой школы).