Вероятно, это связано с тем, что словарные слова чаще всего проверяются не по правилу, а по словарю, их нельзя подвести под правило (или сделать это по каким-то причинам очень трудно), их нужно выучивать в ряду других, особо трудных слов в «словарном порядке».

Не можем полностью согласиться с Вашими замечаниями. Вводные слова могут не отделяться от предшествующего союза А по той причине, что эти слова нельзя изъять из состава предложения или переместить; в примере из интерактивного диктанта такая причина отсутствует. Касательно второго замечания: орфограмма снята.

Нельзя переносить аббревиатуры, пишущиеся (полностью или частично) прописными буквами, напр.: ДОСААФ, ЮНЕСКО, КамАЗ, ПАО.  Сложные и сложносокращенные слова переносить можно в соответствии с общими правилами переноса и с учетом структуры слова. Вот несколько возможных вариантов: Ни-жнекамскнефтехим, Ниж-некамскнефтехим, Нижне-камскнефтехим, Нижнекамск-нефтехим. Неправилен такой перенос: Нижнекам-скнефтехим.

Примеры, которые Вы приводите (мне неведомо и никому не ведомо), нельзя назвать идентичными: во втором случае есть отрицательное местоимение никому. Оно требует раздельного написания не с последующим прилагательным. В Вашем предложении нет причин писать раздельно, корректно: многим избирателям неведомо понятие «гражданская позиция».

Конечно, сочетания апрель месяц, май месяц и т. п. лексически избыточны, но они широко используются в канцелярской (деловой) речи и – главное – уже зафиксированы словарями русского языка. Поэтому ошибкой такое употребление считать нельзя, хотя по возможности его лучше избегать (особенно в живой речи).

На Ваш вопрос нельзя ответить, не зная формальных и семантических характеристик наименования. Постановка кавычек зависит от многих факторов: графическая система, используемая для оформления названия (кириллица/латиница), наличие аббревиации в названии, наличие родового слова при наименовании, контекст, в котором употребляется название, и др.

Правильно: в Брно, до Брно. Склонять это название нельзя. Несмотря на то что в чешском языке Брно склоняется, в русском оно выступает как несклоняемое существительное. (Однако названия чешских городков, содержащие слова u Brna, мы передаем так, как они звучат по-чешски: Славков-у-Брна, Вранов-у-Брна).

Увы, соединение глагола объявляется и сочетания признание коллектива нельзя назвать корректным. Рекомендуем обратиться к примерам словосочетаний в толковых словарях русского языка и выбрать наиболее подходящее для выражения необходимого смысла; см., в частности, статью признание в «Большом универсальном словаре русского языка».