Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Возможны оба варианта, но предпочтительно слитное написание.
Первый вариант предпочтителен.
Обособление не требуется.
Пока что не можем сказать определенно.
Правильно: по факсу.
Предпочтителен вариант с предлогом ПО.
См. здесь.
Выражение растекаться мыслию по древу - из "Слова о полку Игореве". Существует версия, что слово мысль должно читаться как мысь - в псковских говорах белка. Следовательно, поэтический сказ уподобляется быстрому бегу белки по дереву. Но этой версии противоречит то, что слово мысь в древнерусских памятниках не встречается. Поэтому скорее всего слово мысль выступает в своем прямом значении, и выражение растекаться мыслию по древу следует понимать как "растекаться творческим воображением".
