Если речь идет об исторической эпохе, то правильно с прописной: состоятся Дни Средневековья.
Нужна запятая перед и наоборот. Подробно об этом см. в "Справочнике по пунктуации".
Правильно: власти предержащие. Подробно об этом сочетании рассказывается в статье Ю. Л. Воротникова.
Правильно: тихой сапой. Об этом выражении см. в «Справочнике по фразеологии».
Верно: ...открылась 150-я аптека, открытие 150-й аптеки. Об использовании наращений читайте в "Письмовнике".
Наращения здесь не требуются, Вы написали верно. Об использовании наращений читайте в "Письмовнике".
Правильно: (мы) стелем. Подробнее об этом глаголе см. в ответе на вопрос № 252194.
Запятые нужны. Об обособлении оборотов с производными предлогами читайте в "Справочнике по пунктуации".
Женская фамилия Адата склоняется следующим образом: Адата, Адаты, Адате, Адату, Адатой, (об) Адате.
Выбор варианта зависит от того, идет ли речь об одном помещении или нескольких.