Строго говоря, прилагательное старинный связано с представлениями о старине, а значит, можно согласиться с Вашими доводами. Впрочем, не исключено, что в чьей-то речи выражение старинный фильм может оказаться вполне уместным обозначением очень старого — по меркам киноиндустрии — фильма.

Как свидетельствуют корпусные данные, такое «парцеллированное но» распространено не только в сетевом общении, но и в художественных и публицистических текстах, где — совершенно очевидно — этот стилистический приём вполне нормален. Он придает тексту выразительность, а также помогает сделать акцент на определенной части высказывания. 

Действительно, здесь допущена логическая ошибка. Возможно, автор хотел сказать в позапрошлом веке.

Пединститут пишется через И. Подынститут – правовой термин, например: институт брака и подынститут заключения брака.

Писать нужно раздельно: вполне себе. Это сочетание употребительно в разговорной речи.

В значении "должностные лица, начальство, администрация" слово власть употребляется только во множественном числе: районные власти; обратиться к властям; по словам властей.

Дело в том, что официально действующие сегодня «Правила русской орфографии и пунктуации» были приняты в 1956 году. Некоторые предписания правил (в том числе касающиеся оформления слов, относящихся к церковно-религиозной сфере) были обусловлены идеологическими причинами, а потому современной практике письма уже не соответствуют. Нормы современной письменной речи таковы: с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена в названиях религиозных праздников (христианских, мусульманских и др.): Крещение Господне, Пасха Христова, Масленица, Рождество, Святки, также Рамадан, Навруз, Ханука и др.

В подобных синтаксических конструкциях правилами правописания предусматривается постановка тире, а не запятой. Вообще запятая никогда не ставится между подлежащим и сказуемым в одной грамматической основе.