Это слово пишется кириллицей, слитно: онлайн. Нормативно только такое написание, оно зафиксировано академическим «Русским орфографическим словарем». Как первая часть сложных слов онлайн пишется через дефис: онлайн-опрос, онлайн-служба.
Обороты «по + имя собственное», указывающие, согласно чьему мнению, чьей точке зрения, теории и т. п. что-либо утверждается, обычно обособляются. Уточним, что обособляются они в случае, если играют роль вводных конструкций, указывающих на источник сообщения, например: По Аристотелю, не все блага равноценны: есть вспомогательные, а есть финальные. Однако такие обороты могут быть тесно связаны с какими-то словами в предложении — не только с глагольными формами, на что обычно указывают справочники, но и с существительными, о чём свидетельствуют Ваши примеры. В этих случаях оборот «по + имя собственное» не нуждается в обособлении.
В приведенных примерах по Аристотелю играет роль несогласованного определения. Кстати, тот же смысл можно выразить с помощью прилагательного, т. е. согласованного определения: идеальное государство по Аристотелю = аристотелевское идеальное государство. Возможность такой замены служит дополнительным доказательством того, что по Аристотелю здесь не является вводной конструкцией.
В данном случае речь идет о счетной форме существительных (особой форме множественного числа, которая используется с числительными при указании точного количества). Счетная форма обычно указывается в словарях. Согласно орфографическому словарю, верно: пять килограмм и пять килограммов, но только: пять мегабайт.
Первая часть сложных слов бизнес- присоединяется дефисом: бизнес-консалтинг.
Употребительная передача фамилии футболиста: Бекхэм.
Правильно (в пословице): Лес рубят - щепки летят.
Верно: коррупциоёмкая.
Верно: мой день рождения.
