Вы привели отличный пример того, что вводное слово не определяется только по критерию «слово можно убрать из предложения без существенной потери смысла». Этот критерий работает не всегда: с одной стороны, из предложения могут быть убраны без существенной потери смысла некоторые обстоятельства, но это не повод считать их вводными словами (вводными сочетаниями); с другой стороны, некоторые вводные слова и сочетания в значительной степени формируют смысл предложения, так что убрать их затруднительно. Специфика вводных слов состоит в их семантике: они вносят в предложение субъективные значения, исходящие от автора или (реже) от другого лица. Так, слово возможно указывает на степень достоверности сообщения, факта; с его помощью автор сигнализирует, что высказывает предположение, а не утверждает что-либо уверенно. Это одно из типичных значений вводных слов и сочетаний. Список таких значений приведен в справочниках, например в примечании к параграфу 91 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Лучше (наречие, сравнительная степень) меньше (наречие, сравнительная степень), да (союз, противительный) лучше (наречие, сравнительная степень). Если использовать классификацию по частям речи, в которой в качестве отдельной части речи выделяется категория состояния (предикативы, безлично-предикативные слова), то получится так: Лучше (категория состояния, сравнительная степень) меньше  (наречие, сравнительная степень), да (союз, противительный) лучше (наречие, сравнительная степень).

Если относить слова категории состояния (предикативы, безлично- предикативные слова) к предикативным наречиям и добавить информацию о разряде наречия, то получится так: Лучше (предикативное наречие, сравнительная степень) меньше  (наречие образа действия, сравнительная степень), да (союз, противительный) лучше (наречие образа действия, сравнительная степень).

Кроме того, для понимания структуры предложения стоит отметить, что предложение является неполным, в нем пропущен инфинитив со значением типа делать, купить, набрать и т. п., который вместе с предикативным лучше входит в состав главного члена этого безличного предложения: Лучше (делать и т. п.) меньше, да лучше.

По первому предложению: конечно, тире можно не ставить, ссылаясь именно на этот пункт правил. Но если вчитаться в него, то мы заметим, что в нем говорится о вводном слове, но не о вводной конструкции, которая здесь довольно сильно распространена. Тире предпочтительно оставить именно по этой причине: оно ясно сигнализирует о том, что оговорка завершена и сейчас последует сказуемое. В противном же случае различие можно воспринять как однородный член к рознь. Конечно, дочитав предложение до конца, читатель поймет, что это не так, но создавать ему такие дополнительные затруднения ни к чему.

По второму предложению: полагаем, что здесь сочетание запятой и тире является эквивалентом двоеточия. См. ПАС, § 130, прим. 1. Перед нами бессоюзное сложное предложение (каждая часть его представляет собой, в свою очередь, СПП), так что положение этого примечания здесь вполне применимо.

По третьему предложение: это тоже бессоюзное сложное предложение, тире ставится по п. 5 того же параграфа ПАСа.

«Поверил Я алгеброй гармонию»... Именно эти строки напомнил Ваш вопрос. Как известно, пьеса «Моцарт и Сальери» была опубликована в альманахе «Северные цветы на 1832 год». В первом издании фрагмент был представлен в такой графической версии:

              Намедни ночью 

   Безсонница моя меня томила

   И въ голову пришли мнѣ двѣ, три мысли.

В 1838 году вышел в свет первый том полного (посмертного) собрания сочинений А. С. Пушкина, и в нем фрагмент сцены был представлен в измененном виде:

              Намедни ночью 

   Безсонница моя меня томила,

   И въ голову пришли мнѣ двѣ - три мысли. 

Без сомнения, вопрос о причинах пунктуационных изменений — это прежде всего вопрос к издателям. Как можно полагать, пушкинисты-текстологи знают ответ на этот вопрос. Нам же очевидно, что, вне зависимости от того, как был представлен фрагмент в последующих изданиях, пунктуационные нормы, зафиксированные в справочной литературе ХХ века, не могли быть учтены в веке девятнадцатом. 

Место ударения в фамилии определяется, с одной стороны, акцентологическими закономерностями русского языка, действующими в области нарицательных слов, а с другой — многочисленными отклонениями от этих закономерностей, возникающими в результате акцентологического расподобления нарицательного и собственного имени, аналогического воздействия со стороны сходно построенных или бытующих в той же социальной среде фамилий (ср. правильное с точки зрения акцентологии Ива́нов и общераспространенное Ивано́в). Поэтому в конечном счете ударение в фамилии определяется семейной традицией.

Фамилии литературных персонажей в этом отношении подобны фамилиям реальных людей. Автор, в свою очередь, может изменить ожидаемое место ударения, реализуя тот или иной замысел. Но обычно такое изменение, если оно случается, так или иначе себя проявляет. Слово корова и его производные имеют неподвижное ударение на втором слоге, поэтому естественно предполагать, что фамилия Коровьев имеет ударение на том же слоге. Булгаков читал свой роман друзьям, диктовал жене — никаких свидетельств того, что он предполагал иное ударение в этой фамилии, нет.

В теории сложного предложения не говорится прямо, но подразумевается по умолчанию, что это явление моносубъектной речи. Суть сложного предложения в том, что говорящий (один и тот же!) или вынужден, или предпочитает выразить свою мысль не одним, а двумя (или более) простыми предложениями, грамматически связанными между собой при помощи специальных средств связи (ср.: Маша была довольна приездом брата. — Маша была довольна тем, что приехал брат).

В конструкции же с прямой речью соединяется речь двух субъектов: говорящего и того лица, чьи слова он передает. Никаких специальных средств связи, свойственных сложному предложению, в конструкции с прямой речью нет и быть не может. Прямая речь присоединяется к так называемым словам автора механически и отделяется от них интонационно и пунктуационно. Поэтому конструкция с прямой речью не образует сложного предложения, и поэтому говорят, что прямая речь осложняет простое предложение. Это далеко не удачная формулировка, но лучше пока никто не придумал.

Такое местоимение, дублирующее подлежащее, с логической точки зрения является избыточным, и литературная норма не разрешает такие построения. Однако на практике этот запрет действителен только в отношении письменной нормативной речи. В устной речи, особенно неподготовленной, такие построения частотны, что легко объясняется с точки зрения процесса порождения высказывания. Говорящему легче сначала обозначить предмет речи (Машина), и это происходит еще до того, как у него готов план всего высказывания в целом. Когда же план сформирован, возникает «второе местоименное» подлежащее, потому что о первом говорящий уже как бы забыл. В коммуникативно-прагматической лингвистике такие высказывания называют конструкциями с выносом топика влево (топиком является Машина). Топик не обязательно совпадает с грамматическим подлежащим, ср.: А вот от Сережки — от него я давно ничего не слышал. Конструкции с выносом топика влево частотны и в устной неподготовленной речи носителей нормы, в том числе самых высококвалифицированных. В спонтанной устной речи они допустимы.

Одна из особенностей русского письма – отсутствие специальных букв для обозначения парных твердых и мягких согласных. На твердость-мягкость парных согласных указывает следующая буква. Так, в слове был буква ы указывает на твердость согласного [б], а в слове бил буква и указывает на мягкость согласного [б']. Сам же согласный (и твердый, и мягкий) обозначается одной и той же буквой – Б.

А вот согласные ж и ш всегда твердые, парных их мягких звуков не существует, а значит, ж и ш не нуждаются в «подмоге», обозначать их твердость с помощью следующей буквы не требуется. Иначе говоря, букву ы, обозначающую твердость предшествующего согласного, после  ж и ш мы не пишем, потому что и без того знаем, что это твердые согласные.

Может возникнуть вопрос: как появилось написание жи и ши, если и указывает на мягкость согласного, а ж и ш всегда твердые? Это связано с тем, что в древнерусском языке звуки ж и ш были мягкими; написание жи – ши отражает этот исторический факт.

Формально это предложение можно подвести под правило об отсутствии запятой между частями сложносочиненного предложения, части которого объединены восклицательной интонацией. Однако это правило и Д. Э. Розенталь и Н. С. Валгина сопровождают примерами, в которых части начинаются с частиц или местоимений, подчеркивающих однородность частей, равноправность их по смыслу: Как он смешон и как глупы его выходки! Как часто мы собирались вместе и какие вели интересные беседы!; Сколько скрытого смысла в этих словах и какой отклик вызывают они у слушателей!; Как тихо вокруг и как чисто звездное небо! 

В Вашем преложении смыслового равноправия частей нет. Отношения между ними причинно-следственные: Раз сам сделал, то сам и расхлебывай. Между ними можно было бы поставить знак тире: Сам сделал – и сам расхлебывай! Сам сделал – сам и расхлебывай! Более того, одна часть является повествовательной, а другая – побудительной. Побудительность же служит объединяющим фактором (ср.: Подпустить врага и огонь дать по команде!). 

Подведем итог нашим пунктуационным размышлениям. Отсутствие запятой формально правильно, но «духу» правила более отвечает разделение частей запятой. 

Слово номинант появилось в русском языке сравнительно недавно — в начале 90-х годов ХХ века. Рассказывая об участниках различных конкурсов, о претендентах на звание, титул или какую-либо награду, СМИ сразу же дали повод для обсуждения интересной грамматической коллизии: одного и того же участника могли именовать номинантом на премию и номинантом премии. Словари неологизмов зафиксировали эту вариантность (см., в частности: «Новые слова и значения: словарь-справочник по материалам прессы и литературы 90-х годов ХХ века»; СПб.; 2014). Спустя три десятилетия не можем не заметить: два варианта словосочетаний встречаются в текстах, посвященных, как правило, премиям. В других случаях, когда речь идет о званиях или титулах, номинанты имеют предлог на. Безусловно, здесь необходимы уточнения, на что, кстати, есть надежда, потому что слово номинант активно употребляется в современной речи. В заключение констатируем: в жизни неологизма могут происходить не всегда предсказуемые события, отнюдь не всегда лексические и грамматические особенности новых слов могут расцениваться по критерию «верно — неверно», напротив, они привлекают внимание и даже могут представлять собой исследовательский материал.