Если полное наименование пишется с прописной буквы, то и сокращенное наименование в функции полного пишется с прописной. Так в документах, а в публицистике, разумеется, используется строчная буква.

Исходное, полное словосочетание: в двух случаях из пяти случаев. Если одно из двух существительных отсутствует, то второе сохраняет ту падежную форму, какую оно имеет в в полном варианте.

Беларусь, Республика Беларусь – официальные названия государства (сокращенное и полное). В неофициальных контекстах, в живой устной и письменной речи страну по-русски по-прежнему называют Белоруссией. Поэтому лучше написать: мясо из Белоруссии.

Прилагательные с подчинительным отношением основ и с суффиксом в первой части пишутся по словарю: частноправовой, железнодорожный, но естественно-научный, публично-правовой. Полное правило см. здесь. Спасибо за найденную неточность в ответе!

Слово министерство пишется с большой буквы как первое слово официального названия учреждения: Министерство обороны Украины. Если полное официальное название не приводится, правильно написание строчными, например: в министерстве обороны пояснили...

Сказуемое в этом предложении может находиться как в форме единственного, так и в форме множественного числа. Более полные рекомендации Вы найдете в рубрике "Письмовник" на нашем портале.

По общему правилу: пишутся с одной Н полные прилагательные и причастия, образованные от бесприставочных глаголов несовершенного вида (здесь - "плавить"). Две Н пишутся при наличии у причастия зависимых слов. 

Полное название театра орфографически верно писать так: Центральный академический театр Российской армии. Если вместо полного названия употребляется усеченное, первое слово в нем пишется с большой буквы: Театр Российской армии.

Здесь логика та же, что и с названиями, например, марок автомобилей.

Автомобиль — сущ. мужского рода, (авто)машина — женского. Из этого как будто бы следует, что можно и так, и так. Но, когда речь идет, допустим, о «Волге», пишут и говорят приехал на синей «Волге» (ж. р.), а когда о «Москвиче» — приехал на синем «Москвиче» (м. р.). Противоположные варианты исключены. Это означает, что решающую роль играет род того существительного, которое и является названием, а не род слова, обозначающего понятие. Следовательно, когда речь идет о байдарке, мужской род названия «Таймень» сохраняется.

Да, при неофициальном употреблении (например, в тексте газетной статьи) верно написание строчными: глава республики предложил, глава Дагестана положительно охарактеризовал... Прописная буква нужна, если полное название должности используется в официальном тексте.