Вариант склонения с выпадением гласного возможен: Корня, Корню и т. д. Однако фамилии выполняют юридическую функцию, поэтому их рекомендуют склонять, сохраняя основу неизменной: Кореня, Кореню и т. д. В документах лучше придерживаться одного варианта.

В счетной форме (т. е. в конструкциях с количественным значением) правильно: каратов и карат: 5 каратов и 5 карат.

Однако в рассматриваемом примере верно: 2,11 карата. Существительным управляет дробная часть: одиннадцать сотых карата.

Словарная фиксация менялась. В 4-м издании «Русского орфографического словаря» РАН было дано дефисное написание (и это отражено в наших старых ответах), однако впоследствии академический орфографический словарь изменил написание на слитное. Современная орфографическая норма: шоурум.

По правилу и в соответствии со словарной рекомендацией нужно писать две н. Однако, как мы уже не раз писали, выбор н и нн в кратких отглагольных формах представляет собой проблему. Она сейчас изучается лингвистами. 

В словосочетании красивая морда содержится стилистическая ошибка, однако это не плеоназм (нарушение норм лексической сочетаемости — употребление в словосочетании или предложении лишних со смысловой точки зрения слов: патриот родины, единый монолит и т. п.).

При перечислении авторов, как правило, используют алфавитный порядок. Однако такое оформление не является обязательным требованием. Вполне возможно, что (по договоренности между авторами) на первом месте будет стоять фамилия автора, внесшего наибольший вклад в произведение.  

Слова растереть и истоптать не синонимы, однако однокоренные с ними глаголы могут входить в состав синонимичных образных выражений. Например, стереть в порошок и затоптать ногами в значении "жестоко, беспощадно расправиться с кем-либо".

Согласно «Правилам русской орфграфии и пунктуации» (под ред. В. В. Лопатина. М. 2006) названия букв ж и ц - жэ и це. Однако словари русского языка и энциклопедии предлагают также варианты же и цэ.

Возможны оба варианта. Однако в первом случае субъектом действия является только Иван Иванович (и именно он находится в центре повествования). А во втором случае Иван Иванович и Петр Петрович являются двумя равноправными субъектами действия.

Слово вообще-то может выделяться запятыми как вводное. Однако при противопоставлении предложений или частей предложения запятые не ставятся, ср.: Я вообще-то не люблю купаться, но в такую жару хочется окунуться. См. в «Справочнике по пунктуации».