Корректное написание: Город юности.
Слова на -мый пишутся с не раздельно, если они могут употребляться без не и имеют в качестве пояснительных слов местоимения и наречия, начинающиеся с ни: это был голос, не сравнимый ни с какими другими голосами.
Название склоняется: В Шебекине открылся...
Запятая факультативна (необязательна). Подробнее о факторах, влияющих на обособление оборотов с предлогом в связи с, см. в «Справочнике по пунктуации».
Пробел после сокращения нужен (как и после полного слова): г. Москва, ул. Вавилова.
Ставится запятая: город, удобный для жизни.
Запятая нужна.
Если это обращение к двум или нескольким людям, то верно: Наш город удивит вас и не оставит равнодушными.
Правильно: в город Москву.
Склоняются: в город Москву, в город Белокуриху. См. в Горячей десятке вопросов.
