Правильно: приглашает Вас на свой день рождения.
Оба варианта грамматически корректны.
Вариант сделай покупку на день рождения имеет значение "в качестве подарка, в честь дня рождения". Так что, если имеется в виду, что покупку нужно сделать в течение дня рождения, а не в честь него, следует писать: в день рождения.
Оба варианта правильны, выбор зависит от задач автора, см. ответ на вопрос № 276520.
Корректно: мой день на гастролях, мой день во время гастролей.
В школе это называют "беглыми гласными", они появились в древности в результате исчезновения сверхкратких гласных звуков. В русском языке множество слов, которые склоняются с выпадением гласной О или Е: сон - сна, день - дня, пень - пня, Египет - Египта и др.
Тире поставлено правильно.
Предпочтительно писать это сочетание в кавычках.
