Сочетание старый как мир является устойчивым, запятая не ставится.
Запятая между двумя частями сложносочиненного предложения, каждая из которых представляет собой назывное предложение, не ставится.
Верно писать с ни.
Правильно: не прекращающийся ни на минуту дождь. Слова ни на минуту усиливают отрицание, что способствует раздельному написанию.
Нет, в этом словосочетании прописные буквы не требуются.
Верен третий вариант. Обратите внимание, что из этого предложения следует, что клиент может выбрать не только место, но и стоимость. Если такой возможности нет, предложение нужно перестроить.
В данном случае можно повторить предлог в, можно не повторять. Ошибки ни в том, ни в другом случае не будет.
Правильно: чемпион мира, Кубок мира.
Да, запятая подчеркнет, что действия произошли не одновременно.
