Произведем несложный синтаксический разбор. Главное слово сочетания — день, от него задаем вопросы к зависимым словам и ставим их в нужную форму: день чего? — рождения, день какой? — красивый. Итог: красивый день рождения. О склонении сочетания день рождения см. ответ на вопрос № 249988.
Строчными: день рождения города.
Правильно строчными: день рождения.
Верно раздельное написание (день в день).
Правильно: День студента, Татьянин день.