Верно: Поздравляю Вас с Днем медицинского работника.
В обоих случаях запятая не нужна.
Благодаря (кому?) Карамзину.
Правильно с прописной буквы.
Верно: Мы-то знаем цену его публичным декларациям.
Да, можно.
Правильно: 9 июня объявлено днем траура.