Поздравлять нужно "со строчной буквы": с днем рождения.
В обоих случаях запятая не нужна.
Да, можно.
Верно: Мы-то знаем цену его публичным декларациям.
Благодаря (кому?) Карамзину.
Правильно с прописной буквы.
Правильно: 9 июня объявлено днем траура.