Правильно: Древний Рим (государство) и древний Рим (город).
Корректно: РИА «Новости» сообщило... (агентство сообщило). Впрочем, теперь нужно так: МИА «Россия сегодня» сообщило...
Правильно: рис «Жасмин», соус «Нью-Йорк», картофель «Айдахо». Однако для последнего наименования очевидна тенденция к переходу имени собственного в нарицательное (по аналогии с картофель фри), поэтому вариант картофель айдахо нельзя считать неверным.
Корректно: РИА "Новости".
Мы не выполняем домашние задания и задания олимпиад по русскому языку.
Верно: гитарный рифф.
Для постановки сразу двух знаков — запятой и тире — нет оснований. Сказуемое нужно согласовать с существительным агентство — главным словом аббревиатуры РИА, выполняющей функцию подлежащего: В данный момент певица арендует жильё — сообщает РИА «Новости»; В данный момент певица арендует жильё, сообщает РИА «Новости».
