Корректно: набор работников по различным специальностям, но на различные должности.
Для написания с большой буквы нет оснований. Верно: документы управленческого учета.
Использовать кавычки нет необходимости.
Правильно: он окончил институт по специальности «инженер».
Название специальности нужно заключить в кавычки, но вот писать это название с большой буквы не требуется.
Правильно: согласно журналу учета.