Возможны варианты оформления названия: корпус «Под гербом»; Корпус под гербом.
Верно: замаскироваться под кого-что-либо.
Правильно: под подпись или под расписку.
В значении "встретились" корректно: съехались под Москвой.
Правильно: промок под дождем.
Запятая нужна: в данном случае слово предположительно имеет значение 'вероятно, возможно, скорее всего', а значит, оно вводное.
Верны варианты: ознакомить под подпись, ознакомить под расписку. См.: Подпись, роспись и виза.
Правильно: пол-Кавказа. Пол... (половина) присоединяется дефисом к слову, которое пишется с большой буквы.