Правильно: оплата обучения, плата за обучение.
Верно: параллельно с вводом в эксплуатацию.
Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Корректно: организовывать их обучение по специальностям (каким?), совпадающим с деятельностью ФНЦ.
Верно: видам, заявленным.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
В данном контексте местоимение «его» относится к словосочетанию «дорожно-строительное предприятие».