Верно: заведующая детским садом, управляющий банком.
Правильно: заведующая детским садом.
Правильно: заместитель заведующего МБОУ «Детский сад № 100».
Не совсем понятен вопрос, но если имеется в виду название комнаты, в которой находится ванна для купания или мытья, то правильно: ванная.
Нет. Правильно писать заведующий кафедрой, заведующая детским садом, управляющий кооперативом и т. д.
Запятые не нужны.
Корректно: в городе Павловском Посаде. См. «Письмовник».