Правильно: о применении, дать Марии.
Вы правы, организация проведения дня - неудачный вариант. Корректнее: Об организации и проведении мероприятий, посвященных Дню охраны труда.
Смотря что требуется применять :)
Верно: стать членом организации, вступить в организацию.