Верно: ...начало XX века.
Правильно: века.
Правильно: конец V века - X век.
Для обозначения веков обычно используются римские цифры: в XIII веке. При написании арабскими цифрами нужно наращение: в 13-м веке, в 13-м.
Верен первый вариант.
Правильна форма единственного числа с наращением: конца 19-го – начала 20-го века.
Синонимы (не полные): подворье, ресторация, трактир, питейный дом, кабак, харчевня, корчма, шинок.
Форма вечныЯ сочеталась (в дореволюционной орфографии) с существительными женского рода. Верно только: на веки вечные (век - м. р.).