Название при словах городской округ обычно не склоняется. Верно: в городском округе Подольск, в г. о. Подольск.
Возможны оба варианта. См. значение слова.
Эти сочетания пишутся строчными буквами.
Сочетание музей боевой славы пишется строчными как родовое наименование (не как официальное название учреждения), например: почти в каждой школе нашего города есть музей боевой славы.
Правильно: Государственный исторический музей, при неофициальном употреблении: Исторический музей.
Обратитесь, пожалуйста, к книге: Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П. Словарь грамматических вариантов русского языка. – 3-е изд., стер. М., 2008.