Правильнее: на Московской улице.
Московская электронная школа как название организации, электронного ресурса, проекта правильно писать с заглавной буквы. Но теоретически это сочетание может быть использовано и не как название, тогда его нужно писать со строчной буквы.
Правильно: Московская городская дума.
Лучше: на Московской улице.
В указанном случае (при наличии родового термина ЗАО) уместно согласование по среднему роду.
См. также: http://new.gramota.ru//spravka/letters/60-rubric-91
Да, эти сочетания пишутся с прописной буквы.