Да, этот корень можно отнести к чередующимся. См. ответ на вопрос № 267619.
Слово вовсю следует писать слитно.
Корректна форма единственного числа сказуемого. Подробно см. в Письмовнике.
Правильно: он косит от армии.
Корректно: общий и биохимический анализ крови. Прилагательные сами по себе указывают, что речь идет о разных видах анализа.