По правилам род несклоняемых географических наименований определяется по грамматическому роду слова, обозначающему более общее понятие, то есть в данном случае по грамматическому роду слова река: Сочи журчала.
Мужская фамилия склоняется, женская -- нет. Подробнее см. в работе Н. А. Еськовой.
В 4-м издании «Русского орфографического словаря» РАН (М., 2012) зафиксировано: Всевеликое войско Донское. В предыдущих изданиях словаря (1999 и 2005) в этом сочетании донское предлагалось писать строчными. Ориентируемся на издание 2012 года. Соответствующие изменения внесены и в электронную версию словаря на нашем портале.
Правильно: мойка автомобилей.
Обособление необходимо.
Более точное слово – раковина (оно толкуется как 'вместилище с воронкой, расположенное под водопроводным краном для отвода использованной воды'). Слово мойка имеет более широкое значение – 'место, где моют, промывают что-либо'.
Это выражение закавычивать не обязательно.
