Верно с двумя н.
Нарицательное наименование пишется строчными, собственное - с прописных букв. Пожалуйста, уточните, как употребляется это наименование в Вашем случае.
Оба варианта верны.
Верен первый вариант.
Вы имеете в виду стипендию Фонда имени Вернадского?