Правильно: на панели.

На выходных – разговорно-просторечный вариант, допустимый в непринужденной речи, но не в эфире. Общеупотребительно и нормативно: в выходные.

Правильно: ко дню в значении приуроченности к какому-либо событию. Если имеется в виду, что что-то приурочено к празднику, верно: ко Дню защитника Отечества.

Если такого значения нет, а обозначается календарная дата, то верно: к дню; успеть к Дню защитника Отечества.

Подробно см. в Письмовнике.

Действительно, не вполне ясно, что имеется в виду. Хотя грамматически предложение корректно.

Мыслить в сослагательном наклонении здесь - представлять себе события, которые могли бы произойти, но не произошли.

Причастие и краткое прилагательное соответственно.

Существительное панель относится к третьему склонению, поэтому формы косвенных падежей имеют окончание -И: на панели.

Допустимы оба варианта: передали и передали. При этом строгой литературной норме соответствует ударение на первом слоге: передали, именно такой вариант фиксируют орфоэпические словари, адресованные работникам эфира.

Поскольку в предложении есть слово в кавычках внутри сочетания, заключенного в кавычки, рекомендуется использовать кавычки разного рисунка (см. об этом «Письмовник»): Учащиеся образцового коллектива «Студия турецкого танца "Данс"» под руководством Анны Ивановны Ивановой стали лауреатами конкурса-фестиваля «Капель».