Лучше: претензий друг к другу не имеют.
Возможно: мы не друг для друга (стараемся).
Вы правы, исходный вариант фразы требует доработки.
Правильно: Давай будем писать друг другу письма.
Возможны оба варианта: в первом случае имеется в виду сравнение, во втором – уподобление.
Предлог здесь лишний. Верно: параллельны друг другу.
Допустимо и слитное, и раздельное написание.
"Обоюдные" и "друг к другу" - дублирующие единицы. Выберите что-то одно.