1. Кавычки не нужны.
2. Можно.
3. А бывает задержка не во времени? Это сочетание кажется избыточным.
Правильно: при поддержке фонда, при поддержке института.
В этих предложениях не должно быть тире.
Здесь нет ни слова о бесплатности услуги.
Верно: Этот материал обеспечивает хорошую поддержку позвоночника. Дательный падеж обычно используют при другом порядке слов: Этот материал обеспечивает позвоночнику хорошую поддержку.
Возможны оба варианта: техподдержка и тех. поддержка.
Правильно: официальная поддержка (чего?) мероприятия. Но: оказать поддержку (чему?) мероприятию.
Запятая не нужна. Поясняющее определение отделяется от поясняемого и не отделяется от определяемого слова: Любая, даже самая малая поддержка неоценима...
Правильно: Состоялось собрание в поддержку наших товарищей.