Название в кавычках при родовом слове не склоняется: ученица школы «Интеграция».
Как правило, название пишется без кавычек, но уставом образовательной организации может быть предусмотрено и написание в кавычках. Т. е. нужно читать устав.
Верно: работает в ГБОУ Школа.
Корректно: школа № 1.
Написание в кавычках корректно.
Лучше: награждается грамотой МАОУ "Зареченская школа".
Кое-что.
Орфографический словарь
Лучше сказать: быть попечителем школы.