Грамматически правилен первый вариант. Но мы полагаем, что на тетради достаточно написать: ученика школы № 878.
Как правило, название пишется без кавычек, но уставом образовательной организации может быть предусмотрено и написание в кавычках. Т. е. нужно читать устав.
Название в кавычках при родовом слове не склоняется: ученица школы «Интеграция».
Дремлет — форма 3-го л. ед. ч. глагола дремать.
Верно: работает в ГБОУ Школа.
Написание в кавычках корректно.
Лучше: награждается грамотой МАОУ "Зареченская школа".
Корректно: школа № 1.
Корректно: Детско-юношеские спортивные школы плавания (далее — спортивные школы).
Существительное, указывающее на специализацию школы, ставится в родительном падеже: школа танцев, школа высшего спортивного мастерства, школа импровизации, школа вождения.