Приведите, пожалуйста, контекст.
Во избежание путаницы лучше: в торговом центре "Электронный рай". Если в сочетании лес доменов слово лес используется в переносном значении, корректно: в лесу доменов (находиться); в лесе доменов (разбираться).
Оборот с предлогом "в" неупотребителен.
Существует разговорное наречие зараз со значением "в один прием". В этом случае пишется слитно. Но если текст стилистически нейтральный и имеется в виду "за один раз", то за раз пишется раздельно.
Верен второй вариант.
Нет, это ошибка. См. подробнее в рубрике «6krainij/">Азбучные истины».
Правильно с прописной, кроме последнего примера.