Правильно: заведующая.
Правильно: бараны.
Думаем, деепричастный оборот в этом предложении вообще лучше заменить придаточным предложением.
Корректно: В России больны ВИЧ почти миллион человек.
Мужская фамилия Богдан склоняется.
Мужская фамилия Бажан склоняется. Корректно: Артёму Бажану.
Мужская фамилия Богдан склоняется. Правильно: в лице Богдана Владимира.
Следует писать с тире: банан – черника.
Вы написали верно.