Будем играть на стадионе "Открытие Арена", на стадионе "Открытие", на "Открытии", на арене "Открытие" и т. д.
Оба варианта верны.
Да, сочетание своя квартира в данном случае обращение. С коммуникативной точки зрения уместно оформить приведенное высказывание как два предложения: Прощай, аренда! Привет, своя квартира!
Корректно: арендная плата.
Да, кавычки уместны. Они покажут границы названия, оформленного средствами разных графических систем.
Сочетание сниму в аренду некорректно. Правильно: сниму.
Правильно: договоры. Договора - разговорная форма.
По логике возможны оба варианта, но на практике употребляют обычно первый.
Проверочных слов нет. Это словарные слова, написание проверяется по орфографическому словарю (а объясняется этимологией слов: аренда от лат. arrendare 'отдавать внаем', адвокат от лат. advocare 'призывать на помощь').
Лучше: ...предлагает автомобили в аренду.
