Пединститут пишется через И. Подынститут – правовой термин, например: институт брака и подынститут заключения брака.

Писать нужно раздельно: вполне себе. Это сочетание употребительно в разговорной речи.

В подобных синтаксических конструкциях правилами правописания предусматривается постановка тире, а не запятой. Вообще запятая никогда не ставится между подлежащим и сказуемым в одной грамматической основе.

Дело в том, что официально действующие сегодня «Правила русской орфографии и пунктуации» были приняты в 1956 году. Некоторые предписания правил (в том числе касающиеся оформления слов, относящихся к церковно-религиозной сфере) были обусловлены идеологическими причинами, а потому современной практике письма уже не соответствуют. Нормы современной письменной речи таковы: с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена в названиях религиозных праздников (христианских, мусульманских и др.): Крещение Господне, Пасха Христова, Масленица, Рождество, Святки, также Рамадан, Навруз, Ханука и др.

Корректно:

Вместо того чтобы спросить "Как ты провёл день, милый?", она всякий раз осыпала его вопросами "Где ты шлялся?", "На что на этот раз ты потратил зарплату?" или "Сколько это будет продолжаться?", срываясь на горестное "И как это у меня хватает сил всё это терпеть!"

Во-первых, предмет изучения учёных непосвящённым кажется очень сложным («Как возникли звёзды?», «Из чего состоит атом?», «Как континенты перемещаются по поверхности твёрдой Земли?»); во-вторых...

Таких слов множество. В частности:

аноа, нескл., м.

бальбоа, нескл., с. (ден. ед.)

боа, нескл., с. (меховой шарф) и м. (удав)

лофохлоа, нескл., с.

метазоа, нескл., мн.

моа, нескл., м.

ВИА, нескл., м. (сокр.: вокально-инструментальный ансамбль)

массмедиа, нескл., мн.

кеа, нескл., м. (попугай)

амплуа, нескл., с.

буржуа, нескл., м.

Галуа, нескл., м.: теория Галуа

гохуа, нескл., ж. и с.

кечуа, неизм. и нескл., м. (язык) и нескл., мн., ед. м. и ж. (народ)

легуа, нескл., с.

октруа, нескл., мн.

па-де-труа, нескл., м. и с.

патуа, нескл., с.

АКАДЕМИЧЕСКИЙ, -ая, -ое.
1.
к Академия. А. институт. А-ое издание
(содержащее научно подготовленный текст и все его варианты, а также полный справочный аппарат к нему).
2.
Учебный. А. год (длится с сентября по июнь). А. час
(длится 45 минут).
3.
Следующий принципам академизма (2 зн.). А-ая живопись.
4.
Чисто теоретический, не связанный с практикой. А. спор.
5.
Почётное звание, присваиваемое творческим коллективам за высокий уровень исполнительского мастерства. А. народный хор, театр.

АКАДЕМИЧНЫЙ, -ая, -ое; -чен, -чна, -чно.
=Академический (3-4 зн.). А-ая манера письма. А. стиль. А. спор. < Академично, нареч. Академичность, -и; ж.

В  «Большом академическом словаре русского языка» слово бор толкуется как 'хвойный, преимущественно сосновый лес, растущий на сухом возвышенном месте' и приводится иллюстрация: Сосновый бор. Таким образом, сочетание сосновый бор ошибочным не является, как вполне возможны и сочетания: еловый бор, сосново-еловый бор и под.

Ср.: Сверху, из дальних мест, еловых боров, сплавляют по ней строевой лес. Ю. Коваль. Еловый бор подступал к шоссе. Ю. Трифонов.

Иносказательное выражение (иносказание) — то же, что аллегория: изображение абстрактного понятия или явления через конкретный образ. Аллегория состоит из двух элементов:
1) смыслового — это какое-либо понятие или явление (мудрость, хитрость, доброта, глупость, смелость и др.), которое стремится изобразить автор, не называя его;
2) образно-предметного — это конкретный предмет, существо, изображенные в художественном произведении и представляющие названное понятие или явление. Так, в баснях, сказках трусость часто воплощается в образе Зайца, хитрость — Лисы и т. п. Старость нередко аллегорически воплощают в образе осени, вечера или заката. Аллегория может лежать в основе образной системы целого произведения (например, «Арион» А. С. Пушкина).

Это обобщенно-личные предложения, в которых субъект действия мыслится обобщенно, то есть указанное действие относится к любому лицу. Такие предложения могут быть односоставными (Без труда не вытащишь рыбку из пруда), так и двусоставными, как в приведенном Вами примере.