Правильно: на Украину, с Украины.

Это вопрос достаточно сложный. Выражения типа наука финансовое право, наука лингвистика и т. п. представляют собой сочетание с приложением, в котором первое слово является по значению более широким и общим, а второе - более узким и конкретным. В справочных пособиях в разделах, посвященных употреблению кавычек, такие случаи вообще не рассматриваются (достаточно подробно описывается лишь употребление кавычек в сочетаниях с собственным наименованием: журнал «Огонек», кинотеатр «Юность»). В разделах, посвященных обособлению приложений, речь идет только о дефисном / раздельном их написании.
На наш взгляд, в словосочетаниях наука лингвистика, наука филология и т. п. кавычкам не место. Сложнее с сочетаниями, в которых приложениями являются неоднословные названия дисциплин, не являющихся наукой в привычном понимании этого слова. Безусловно, вариант наука управления персоналом лучше, но при употреблении в именительном падеже в ряде случаев кавычки могут быть уместны.

В словарях это слово имеет помету просторечное, поэтому употреблять его, особенно телеведущим, не следует.

В непринужденной устной речи такое выражение допустимо. Однако в официальной речи, где требуется стилистически нейтральная лексика, этот оборот неуместен.

Тогда следует перестроить предложение, например: Прошу направлять плановые заявки в соответствии со спецификацией, так как в случае превышения числа заявок в каждой группе не все они будут удовлетворены.

Сейшн -- концерт, вечеринка. Употребление этого слова возможно в разговорной речи.

Такое употребление неверно.

Употребление жаргонных слов не регламентируется словарями. Что касается практики, что часто используются такие сочетания, как Прикольный чел.

Возможно, такое употребление характерно для какой-либо местности. Нам этого значения найти не удалось.

Такое употребление возможно в профессиональной речи, однако лучше форму множественного числа не использовать.