Запятая после "например" ставится.
Единой точки зрения нет. Одни языковеды считают причастие формой глагола, другие – особой частью речи, имеющей признаки как глагола, так и прилагательного. Но в двухтомной академической «Русской грамматике» 1980 года, обобщившей все достижения отечественной грамматической теории, причастие названо формой глагола. Видимо, лучшим (и самым честным) ответом на экзамене будет именно такой: это дискуссионный вопрос в отечественной лингвистике, но академическая «Русская грамматика» называет причастие глагольной формой.
В данном случае союз-частица ли используется в сложноподчиненном предложении с придаточным изъяснительным: Определить, является ли это частью олимпиадных игр.
Это корень или "квазиприставка" - первая часть сложного слова.
Верно: приложением, являющИмся (какИм).
Написание через дефис корректно.
Постановка тире возможна, но не обязательна. Дефис стоит правильно.
Ср.: Жизнь хороша, Жених хорош, Решение хорошо, Всё хорошо.
Это краткие прилагательные.
Правильно: образованны, это краткое прилагательное.
Возможно раздельное написание. Но лучше: Поле не должно быть пустым.
