См. вопрос 272399.
Запятая нужна: Нельзя приготовить омлет, не разбив при этом пару яиц.
Лучше поставить тире: Пару дней – и станет попрохладней. В нейтральном контексте: станет прохладнее.
Ошибки нет. В конце не хватает точки.
Название самого парка пишется без кавычек: Александровский сад. Но: станция метро «Александровский сад».
В лексикологии этот вопрос не имеет однозначного решения, однако в словари антонимов, которыми мы располагаем, подобные пары включены (см. Колесников Н. П. Словарь антонимов русского языка. Тбилиси, 1972; Львов М. Р. Словарь антонимов русского языка. М., 1984; Введенская Л. А. Словарь антонимов русского языка. М., 2003).
Как собственное наименование объекта в Сочи - с большой буквы: Олимпийский парк.
По школьной классификации эти слова относятся к первому склонению.
Правильно: на первых порах (в значении "в первое время").