Сочетание не исключено выражает неуверенность автора в сообщаемом и может быть вводным, однако при решении о том, следует ли его обособить, нужно проверить, не связано ли оно с отдельными словами или частями предложения какими-либо формальными средствами. В данном случае такое средство есть — это союз что. Следовательно, сочетание не исключено здесь не вводное, это главная часть сложноподчиненного предложения, а значит, правильный вариант расстановки знаков препинания такой: А для других эти произведения были лишь тренировочными, и не исключено, что одна из картин принадлежит великому творцу. Если бы союз что отсутствовал, знаки нужно было бы расставить иначе: А для других эти произведения были лишь тренировочными, и, не исключено, одна из картин принадлежит великому творцу.

Если соблюдать историческую справедливость, нужно писать это слово с большой буквы в названии картины. Но в большинстве других случаев правильным будет написание со строчной: члены политбюро, заседание политбюро.

Четыре сказуемых в этих строках образуют пары, внутри которых смысловые связи более тесные, чем между парами. Они словно рисуют две картинки, сменяющих одна другую: первая - героиня сидит и разбирает письма, вторая - берет в руки охапку и бросает. Чтобы эти смысловые отношения и соответствующую им интонацию отразить на письме, нужна запятая между парами.  

Запятая не нужна. Это простое предложение с однородными сказуемыми сохраняется и будет, соединенными неповторяющимся союзом и. В предложении также есть однородные члены сокровенным идеалом и непреложным законом, соединенные неповторяющимся союзом и. Оснований для постановки запятой нет.

Переходных глаголов на -еть с основой настоящего времени на -е[й]- действительно очень мало. В современном языке к ним относятся иметь, жалеть и близкие по морфологической структуре глаголу запечатлеть глаголы одолеть, уразуметь. В древности этот состав был несколько иным. Например, переходным был глагол умѣти ‘знать’ (от умъ). Глагол запечатлеть известен с древнейших времен (ср. ст.-сл. печатьлѣти, запечатьлѣти) и никогда не менял своих морфологических характеристик. Менялось только его значение: первоначально он значил ‘запечатать’, ‘плотно закрыть’ (откуда и современное значение ‘закрепить в памяти’), ‘утвердить’. Значение ‘воплотить’ (в произведении искусства и т. п.) появилось только в XVIII веке. Тогда же появился глагол впечатлеть, позднее утраченный, и произведенное от него существительное впечатление, получившее переносное, современное значение под влиянием французского impression. Глаголы впечатлить и впечатлять еще более позднего происхождения.

Можно предполагать, что редкое морфологическое строение глагола запечатлеть объясняется его происхождением. Его очевидная связь с существительным печать затемняется невозможностью корректно обосновать эту связь с точки зрения исторической фонетики. Поэтому ученые выдвигали различные предположения о праформах, к которым можно было бы возвести глагол запечатлеть. Так, выдающийся французский славист Андре Вайан постулировал наличие в производящей основе суффикса *-li-, под влиянием которого распространенный основообразующий глагольный суффикс -а- перешел бы как раз в ѣ: *pečatь-li-a-ti > *pečatьlěti > печатьлѣти. Другая версия, выдвинутая в свое время видным специалистом по лексике старославянского языка А. С. Львовым, предполагает, что глагол запечатлеть образован от заимствованной тюркской глагольной основы *pečětlě ‘запечатай’, конечная огласовка которой обусловила вхождение глагола печатьлѣти в морфологический класс глаголов типа умѣти.

Количественные числительные пишутся без наращений. Верные варианты: опера в 3 действиях, 7 картинах и опера в трех действиях, семи картинах. Выбор варианта зависит от того, где используется это предложение.

Верно: начинают нравиться. Это составное глагольное сказуемое (первый глагол в личной форме, второй - в неопределенной форме).

См. словарную статью:

Книжн. Обычно несов. Чаще 3 л. наст. вр. или прош. вр. Недосточно хорош, не удовлетворяет, не соответствует определенным требованиям. С сущ. неодуш.: проект, книга, настроение… оставляет желать лучшего.

Статья оставляет желать лучшего, ее необходимо доработать.

Иногда засядет и в месяц окончит картинку, о которой все кричат как о чуде, находя, впрочем, что техника оставляет желать лучшего… (В. Гаршин.)

Да и сам ассортимент, качество пищи в этом заведении оставляли желать лучшего. (Е. Попов.)