Правильно так, как в «Русском орфографическом словаре»: госавтоинспектора́.
Корректно: Но вот беда: я не умела играть ни на одном музыкальном инструменте.
Указанная запятая нужна.
Кавычки не требуются.
Нет, слово убогий не мотивировано сочетанием у Бога, происхождение этого слова иное.
Действительно, слова убогий, бог, богатый, богатство являются этимологически родственными, они восходят к одной и той же праславянской основе *bogъ, имеющей соответствие в других индоевропейских языках. Но важно подчеркнуть, что религиозное значение у слова бог является вторичным; исходное значение праславянского *bogъ – 'наделяющий богатством, дающий благополучие'. От этой основы и были образованы слова богатый и убогий, при этом слово убогий образовано с помощью приставки у-, которая в древности означала движение в сторону, прочь, вон (т. е. в слове убогий у = не). Буквально убогий – 'не наделенный благополучием; лишенный богатства'.
Дополнительные знаки препинания не требуются, только точка в конце предложения.
