Используются оба слова. Профилирующие предметы - такие, которые определяют профиль образования.
Корректно: не предполагает исполнения.
Запятая перед что не требуется.
Возможны оба варианта, но лучше: заведующей (если далее следует имя и фамилия заведующей).
Кавычки возможны как показатель иронии, других оснований для их использования здесь нет.
Оба слова стилистически нейтральны. Употребление зависит от контекста.
Тире нужно.
Предлоги о и про синонимичны при указании на лицо, предмет, явление, но различаются стилистически: предлог про вносит разговорный оттенок (см. «Справочник по русскому языку. Управление в русском языке» Д. Э. Розенталя).
Разница в написании связана с разницей в произношении этих прилагательных: под ударением в этих словах мы пишем то, что слышим.
"Понимать о том" - некорректное сочетание.
