Корректно написание со строчной.
Имя куклы Барби пока не перешло в разряд нарицательных, как, например, петрушка, и пишется с заглавной буквы без кавычек, см. словарную фиксацию. В сочетании играть в Барби по аналогии с играть в куклы имя используется в переносном значении, как название игры. Пока и при таком употреблении заглавную букву нужно сохранять. Подобные примеры в практике письма встречаются, но они немногочисленны.
Правильно (о празднике): встретить Новый год.
Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с прописной буквы, если они являются частью составных наименований — географических и административно-территориальных, индивидуальных имен людей, названий исторических эпох и событий, учреждений, архитектурных и др. памятников, военных округов и фронтов. В остальных случаях они пишутся со строчной буквы. Корректно: достопримечательности приднестровской земли.
Правильно: контроль за исполнением приказа.
Гласный е в обоих словах входит в состав корня, суффикс в этих словах не выделяется (если опушка в значении 'край леса').
Если зависимых слов нет, то правильно написание с двумя Н.
Это словарное слово.
Кавычки и прописные буквы в таких названиях не нужны.
