Формулировка примеры построены на основе антитезы, увы, содержит речевой недочет: следовало бы сказать, что на основе антитезы построены тексты (фрагменты текстов и т. п.), которые приведены в качестве примеров. 

Пунктуация корректна, хотя эталонным знаком было бы здесь двоеточие. Но и тире не является ошибкой.

Деепричастие может быть употреблено без пояснения, если контекст ясен и не вызывает двоякого толкования. Однако в Вашем примере два деепричастия различаются синтаксическими особенностями: изучая предполагает беспредложное дополнение, а погружаясь — предложное. Оставить первое деепричастие без дополнения можно лишь в случае совпадающего управления, то есть совпадающих форм зависимых слов; ср.: изучая и глубоко постигая математику. 

Нет причин считать это ошибкой. Значение «согласно», «в соответствии с чем-то» является одним из самых употребительных значений предлога по в русском языке.

В приведенных случаях два глагола (сочетания), вводящих прямую речь, относятся к одному фрагменту прямой речи. Это выглядит стилистической ошибкой — плеоназмом. В первом случае плеоназм устраним только удалением из текста фразы отмечал А. Во втором случае можно поставить точку вместо двоеточия, и тогда сочетание выступил со словами благодарности перестанет быть сочетанием, вводящим прямую речь: На собрании выступил А. со словами благодарности. «Текст», — сказал спикер.

Вы совершенно правы: выражение осознанный человек ошибочно с точки зрения лексической сочетаемости. 

Если вторая часть бессоюзной конструкции поясняет то, о чем говорится в первой части, необходимо поставить двоеточие, однако и тире не будет ошибкой (см. параграф 129 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина и примечание 2 к этому параграфу).

Вводное слово, находящееся в начале обособленного члена предложения, не отделяется от него знаком препинания: Многие моменты, о которых мы говорили, например о важности получения высшего образования, нашли отражение в концепции. См. параграф 93 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).

Термин околонулевой встречается в научных текстах начиная с 60-х годов ХХ века. Околонулевые области, фазы и температуры — эти и другие словосочетания используются специалистами в разных областях знания. И прилагательное, и обороты с ним совершенно корректны.

Правилами допускается постановка двоеточия перед перечислением при отсутствии обобщающего слова, см. примечание к параграфу 33 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.). Нельзя не заметить, однако, что такое употребление двоеточия ограничивается деловыми и научными текстами (как можно предположить, для облегчения чтения и для предупреждения о том, что далее следует список). Следовательно, оно стилистически уместно не в каждом случае.

Отметим также, что далеко не каждая пауза в тексте должна быть отмечена знаком препинания, поскольку ведущий принцип русской пунктуации — структурный. В соответствии с этим принципом, между глаголом сдавать и дополнениями русский язык, математику и биологию знаки препинания не требуются.