Если в авторских словах внутри прямой речи имеются два глагола со значением высказывания, из которых один относится к первой части прямой речи, а другой – ко второй, то после слов автора ставятся двоеточие и тире, причем первое слово второй части пишется с прописной:

– Я поеду с тобой! – решительно заявил он и на попытку возразить добавил: – Я очень люблю нянчиться с детьми.

Это орфографическая ошибка. Мы не можем сказать, каким образом она повлияет на оценку.

Корректно: Они верят, что Прекрасная Россия Будущего непременно появится/возникнет. 

Верно, в этих случаях обособляются придаточные предложения. Постановка запятой перед тире в подобных случаях (когда запятая ставится по одному правилу, а тире по другому) предполагается русской пунктуационной нормой. См., например, параграф 156 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Все фамилии, кончающиеся на неударное а после согласных, склоняются по первому склонению: Рибера — Риберы, Рибере, Риберу, Риберой, Сенека — Сенеки и т.д.; так же склоняются Кафка, Спиноза, Сметана, Петрарка, Куросава, Глинка, Дейнека, Гулыга, Олеша, Нагнибеда, Окуджава и др. Все такие фамилии, независимо от происхождения, являются морфологически членимыми в русском языке, т. е. в них выделяется окончание -а.

Верно: учится у Джакомо Баллы, выступает с Джакомо Баллой.

Да, фамилия Кандыба склоняется (и мужская, и женская). К сожалению, законы склонения фамилий неизвестны большому числу носителей языка (ошибаются даже филологи), хотя эти правила приводятся во многих справочных пособиях по русскому языку, в том числе широкодоступных. Правда, чаще возникает обратная ситуация: учитель настаивает на склонении фамилии по правилам, а ученик или его родители категорически протестуют.

Кавычки были бы уместны, но возможны и другие способы выделения (например, курсив или подчеркивание).

Разумеется, правильно: едем в музей (ехать – глагол первого спряжения). Едим – форма глагола есть (принимать пищу), например: едим кашу. Ошибка, надо признать, грубейшая.

В русском литературном языке такого слова нет. Налицо лакуна в языке: есть понятие, но нет слова для его обозначения (о том, что в русском языке такие ситуации не столь уж и редки, говорит известный лингвист профессор И. Г. Милославский). Слово одношкольник можно образовать (словообразовательная модель продуктивна), оно употребляется в языке, но официальной «прописки» в словарях не имеет. В стилистически нейтральных контекстах лучше использовать описательную конструкцию (ученик той же школы; тот, кто учился в той же школе).