Запятую можно поставить.
Слова при этом вводными не являются. О пунктуации при этих словах см. в «Справочнике по пунктуации».
Это корректное сочетание, оно зафиксировано словарями русского языка.
В цельных фразеологизированных сочетаниях с повторяющимся союзом и... и запятая не ставится.
Раздельное написание корректно.
Все варианты возможны.
Здесь уместно раздельное написание (т. к. прилагательное относительное).
Оба прилагательных возможны. Но проще написать: дом из бруса.
Корректно раздельное написание.
ПРИ ЭТОМ, союз и наречие
1. Союз. Синтаксические конструкции с союзом «при этом» выделяются знаками препинания, обычно запятыми.
Володя Яшкин, за ночь постаревший лет на двадцать и еще больше исхудавший, черный, со слезящимися, красными глазами, потряхивал головой, при этом все время что-то у него дребезжало в нагрудном кармане. В. Астафьев, Прокляты и убиты. Яковлев сел в кресло, закинул ногу на ногу, при этом обнаружились его красивые носки. В. Шукшин, Мнение.
2. Наречие. Не требует постановки знаков препинания.
Он при этом крякнул и махнул рукой. И. Гончаров, Обыкновенная история. «Какой он, однако ж, жалкий!» – заметила при этом Нюта Смущенская. М. Салтыков-Щедрин, Для детского возраста.
