Верно писать через дефис: программа-минимум.
Согласно «Морфемно-орфографическому словарю» А. Н. Тихонова, в этом слове корень -кал-.
Лучше (для падежного разграничения): завоевал две золотых медали.
Верно: под Бородином.
Верно: Рассмотрено 5 кандидатур, принято 10 поправок.
Специального правила о написании приставок с личными местоимениями пока нет. В академическом орфографическом словаре зафиксировано два слова такой модели: не-я и сверх-я. По образцу этих слов можно писать и другие подобные.
Правильно: Он мерзок мне.
Судя по корпусным данным, первый вариант конструкции «в этом + прилагательное + край» встречается в речи чуть реже, второй — чуть чаще. Оба они верны.
Запятая нужна: Прошло уже пять дней, как уехали. Придаточное имеет значение времени, см. пункт 3.6 словарной статьи союза как (как2) в «Большом универсальном словаре русского языка».
Корректно: В столице Орды Сарай аль-Джедиде.
