Мы на это смотрим с любопытством. А в чем состоит Ваш вопрос?

Да, есть рекомендация использовать предлог со перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж + согласный] или с согласного [щ]: со ста, со славой, со звездой, со шкафа, со жгутом, со щами. Она приведена в «Кратком словаре трудностей русского языка» Н. А. Еськовой, ее можно найти в «Письмовнике» на нашем портале. Здесь важно, перед каким словом используется предлог, а не к какому слову относится, поэтому приведенная рекомендация дает основания выбрать вариант со сжатыми кулаками. 

Впрочем, в письменной речи встречаются оба варианта, при этом вариант со сжатыми кулаками частотнее. В «Национальном корпусе русского языка» можно найти 31 пример использования варианта с сжатыми кулаками. Вариант со сжатыми кулаками встречается в корпусе 69 раз.

Примеров, точно соответствующих вашему, в справочниках нет. Также нет и разъяснений, что следует в пунктуации понимать под общим второстепенным членом. Не вызывает сомнений, что общим второстепенным членом может быть обстоятельство, которое относится ко всему составу предложения, распространяет его в целом. Но может ли общим второстепенным членом быть определение, которое относится к слову? Один из примеров, который приводит Д. Э. Розенталь, показывает, что все-таки может: Губы Кати не улыбались и тёмные глаза выражали недоумение (Т.). В этом предложении есть второстепенный член, который указывает на принадлежность: губы Кати, глаза Кати. Полагаем, что это дает нам основания считать, что запятая в вашем предложении тоже не нужна. Отсутствие запятой коммуникативно значимо: оно подсказывает читателю, что части связаны каким-то общим компонентом.

В первой части предложения сравнительный оборот образует смысловой центр (смысл не в том, что полицмейстер заходит в лавки, а в том, как именно он это делает), а значит, тесно связан со сказуемым, что дает основание не обособлять его. Сравним примеры из Национального корпуса русского языка: Художники и гуманисты приходили к Козимо как к себе домой и чувствовали себя с ним совсем просто. [А. К. Дживелегов. Вазари и Италия (1933)] (здесь случай, подобный Вашему); А то я туда сунулся, как к себе домой, а там мужик какой-то незнакомый [А. Маринина. Не мешайте палачу (1996)] (смысловой центр первой части, важный для развития сюжета, образует сказуемое сунулся, оборот как к себе домой добавляет малосущественную характеристику).

Вентиль, вентилировать, вентилятор – родственные слова, они восходят к лат. ventilo «развеиваю, проветриваю», в них выделяется корень вентил(ь)-. Родство слов ощущается носителями русского языка. Это дает орфографистам  основание считать слово вентиль проверочным для вентилировать и вентилятор. См. здесь.

Однако найти у слов вентиль, вентилировать, вентилятор общий смысловой компонент, который однозначно бы показывал, что они однокоренные, затруднительно. Вентилятор – устройство для проветривания помещений или охлаждения воздуха, двигателей и т.п.; вентилировать – производить вентиляцию. Вентиль – клапан для регулирования расхода жидкости, пара, газа и т.п.  

Поэтому в современном русском языке эти слова все же однокоренными признать нельзя, а значит, и проверять слова вентилировать, вентилятор словом вентиль неправильно. Но опереться на слово вентиль, чтобы запомнить, как пишутся родственные слова вполне можно. Эту проверку условно можно назвать этимологической.

Слово достаточно новое и пока не зафиксировано в академическом орфографическом словаре. Наш старый ответ о дефисном написании был дан, когда правила орфографии сложных слов еще не были достаточно разработаны, когда слова с частью -снабжающий были мало известны литературному языку.

Сейчас словарь дает нам возможность проанализировать представленные в нем слова с частью -снабжающий. Первая их часть не содержит суффикса -н- (газоснабжающий, теплоснабжающий, топливоснабжающий, энергоснабжающий), что вполне объяснимо: все такие слова образуются от существительных (снабжать газом > газоснабжающий, снабжать теплом > теплоснабжающий и т. д.). По данной модели должно образовываться слово ресурсоснабжающий, которое нужно писать слитно как сложное прилагательное с соединительной гласной, с подчинительным отношением основ и без суффикса в первой части.

Старый ответ мы поправим, а слово ресурсоснабжающий передадим авторам академического словаря. 

Словари на нашем портале дополняют друг друга. Словарь ударений дает рекомендации для работников СМИ, он показывает единственный вариант произношения даже в тех случаях, когда нормативны два варианта. Такая словарная концепция обусловлена тем, что в эфире не должны звучать варианты произношения. Варианты отвлекают от содержания, создают ненужные трудности для слушающих. Отсутствие вариантов в словаре для СМИ избавляет редакции радио и телевидения от необходимости в каждом случае вариативности выбирать тот вариант, который будет звучать на данной радиостанции, на данном телевизионном канале. В орфографическом словаре ударение тоже представлено, и этот словарь показывает акцентологические варианты (то есть варианты ударения), которые находятся в пределах нормы. Однако в задачи орфографического словаря не входит дифференциация произносительных норм, то есть он не показывает, как распределяются варианты на шкале нормативности. 

Наречие наудачу пишется слитно, обстоятельство, выраженное этим наречием, не обособляется. Однако в приведенном Вами примере это слово употреблено неправильно. Значение наречия наудачу: 'надеясь на благоприятный случай; без предварительного обдумывания, выбора и т. п.', например: действовать наудачу, сказать наудачу, вытащить билет наудачу. Сочетанию предлога с существительным на удачу (например: надеяться на удачу) в этом предложении тоже не место. Возможный вариант: К счастью, в их квартире и у соседей никого не было.

Слова по счастливой случайности могут быть обособлены, особенно если стоят в середине предложения, ср.: Я потеряла сознание ненадолго, голова, по счастливой случайности, была почти не ушиблена, ранений много, но легкие. В. Каверин, Открытая книга. В начале предложения эти слова чаще не отделяются запятой. Но ошибкой эта запятая не будет.

Аббревиатуру МУП можно изменять по падежам в обиходной речи (сотрудник МУПа, к родному МУПу), но в эфире, в новостных текстах, а также в деловой письменной речи ее лучше не склонять. Рассматривая вопрос о склоняемости/несклоняемости аббревиатур на согласный с опорным словом мужского рода, а также тех аббревиатур с опорным словом женского и среднего рода, которые практически приняли форму мужского рода (типа ВАК, МИД, ТАСС и т. д.), «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича и Л. П. Катлинской (М., 2008) дает такую рекомендацию: «Для большинства аббревиатур данной группы в строгой деловой письменной речи можно рекомендовать несклоняемую форму, за исключением аббревиатур ВАК, ГОСТ, МХАТ, ВГИК, ТЮЗ, СПИД, ОМОН, которые в настоящее время практически употребляются как цельнооформленные склоняемые слова и лишь в редких случаях как несклоняемые аббревиатуры».

В слове подбородок мы хорошо ощущаем этимологический корень -бород- и даже можем объяснить смысловую связь между словами подбородок и борода: на подбородке у мужчин растет борода. Однако отношений словообразовательной мотивации между словами борода и подбородок нет: значение слова подбородок мы не объясняем через значение слова борода. Вот одно из толкований слова подбородок – 'округлая нижняя часть лица, закрывающая переднюю часть нижней челюсти'. Это не дает нам оснований считать слова подбородок и борода однокоренными, связанными живой словообразовательной связью. Следуя строгой процедуре морфемного анализа, основанной на установлении отношений словообразовательной мотивации, в слове подбородок можно выделить  только корень подбородок-. Именно такой разбор представлен в «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова. Учитывая языковую интуицию носителя языка и этимологические связи слов, можно выделять корень -бород-. На такой разбор опираются составители современного академического описания русской орфографии (см., напр. здесь).