Рубрики перечня, расположенные после двоеточия, начинаются со строчной буквы (с красной строки).

Выбор формы зависит от контекста. Ср., например: делать что-либо в обход начальника отделения (т. е. без согласования с ним).

Если имеется в виду, что сам начальник отделения совершал обход, то правила выбора между родительным и творительным падежом такие. К творительному падежу обычно прибегают, когда в случае употребления родительного падежа неясно, кто совершал действие. Например, в конструкции непонимание критика привело к скандалу смысл неясен: то ли сам критик кого-то не понял, то ли не поняли критика. Вот в этом случае и придет на помощь творительный падеж: чтобы подчеркнуть, что кого-то не понял сам критик, следует выбрать вариант непонимание критиком.

Если же из контекста ясно, о чем идет речь, то употребляется родительный падеж. Корректно: обход начальника отделения, если из контекста читателю будет понятно, что обход совершал сам начальник.

В современном русском языке правильно написание бильярд. См. подробнее в «Словаре трудностей»: Бильярд.

Должен – не глагол! Это предикатив, являющийся по своему происхождению кратким прилагательным (от должный). Но с краткими прилагательными не может писаться и слитно, и раздельно, а со словами не должен, не рад, не горазд (прилагательными, употребляющимися только в краткой форме) – только раздельно. Так что слово не должен вызывает трудности в написании, поэтому оно и зафиксировано орфографическим словарем.

Нужно поставить запятую перед сочетанием исходя из, поскольку здесь исходя является деепричастием, которое соотносится с действующим лицом. Кроме того, рекомендуется переместить деепричастный оборот осознавая степень опасности для жизни, чтобы однозначно показать, что он относится к сказуемому должен определить, а не к причастному обороту: Каждый посетитель спортивных объектов, в том числе лицо, сопровождающее несовершеннолетнего, должен, осознавая степень опасности для жизни, определить физическую возможность посещения спортивных объектов, исходя из состояния здоровья и навыков несовершеннолетнего.

В первом случае сравнительный оборот входит в состав именного сказуемого (было как тетива или леса), во втором — образует обособленную конструкцию (сказуемым здесь служит сочетание широкие и сильные).

Возможны два варианта: обход врача, обход Иванова и обход врачом, обход Ивановым. Выбор формы зависит от контекста. См. ответ на вопрос № 283590.

Сегодня непростое орфографическое испытание даже для профессиональных филологов — это Тотальный диктант. В царские времена подобная акция не проводилась и была практически невозможна, потому что русское правописание, как писал В. П. Светов (1744–1783), было «подвержено многим несогласиям, сомнениям и трудностям, так что каждый почти писатель или переводчик отличен чем-нибудь в правописании от другого». Проблема неупорядоченности написаний сохраняла актуальность и в начале ХХ века. Д. Н. Ушаков уже о своем времени говорил, что невозможно найти «двух орфографических словарей, которые бы не противоречили друг другу... В одном пишется ватрушка, в другом вотрушка, в одном рессур с двумя с, в другом с одним с и т. д. и т. д. … что город, то норов... Если пройтись по издательствам, то увидите, что в них необычайный разнобой. Есть от чего прийти в отчаяние». 

Корректны оба варианта: напОим и напоИм. Четких правил постановки ударения в русском языке нет. В спорных случаях следует воспользоваться словарями.